Тема: Определение
расчетной несущей способности центрально сжатого стержня
согласно СП-53-102-2004 « п.8.1.3 Расчет на устойчивость элементов сплошного сечения при центральном
сжатии…».
Результат: Рекомендации в развитие раздела
«11. Расчетные длины и предельные гибкости
элементов стальных конструкций».
1. Вводные
замечания.
1.1. Согласно п.5.2.4 СП «…Стальные конструкции следует, как правило, рассчитывать, как единые пространственные системы с учетом…взаимодействия элементов конструкции между собой…».
Расчетная длина стержня lef ( в дальнейшем l ) определяется в пространственной конструкции правилами § 11.2 СП, но в своей более или менее детально разработанной части (п.11.2.1) эти правила относятся только к элементам уголкового профиля. В иных случаях п.11.2.2 отсылает нас к нормативным требованиям, которые относятся к плоскостным конструкциям, т.е. сам фактор «пространственности» игнорируется.
По п.11.2.3 «Расчетные длины сжатых элементов пространственных решетчатых конструкций допускается определять из расчета с использованием сертифицированных (ВК) вычислительных комплексов (в предположении упругой работы стали и недеформированной схемы) ». Однако, в известных ВК, таких, как СКАД и Лира, реализованы те же правила СНиП и СП по назначению l в тех или иных частных случаях. Практикуется также определение l из расчета стержневой системы на общую устойчивость, т.е. при нагрузке, значительно превышающей расчетную. В обоих случаях принимаются сильно завышенные значения l, что означает неконтролируемое, экономически неоправданное завышение коэффициентов запаса для отдельных элементов. Такой упрощенный подход наиболее неэкономичен при выполнении поверочных расчетов эксплуатируемых конструкций с целью определения необходимости их сноса или усиления.
Очевидно, действующие нормы и используемые ВК должны быть несколько развиты теоретически и методически, чтобы более адекватно отражать особенности условий работы сжатого стержня в пространственном каркасе.
1.2. Принятое здесь направление развития намечено в Приложении «О» СП ( Таблицы О.2 и О.3) . Оно заключается в непосредственном и, по возможности, точном учете условий взаимодействия элементов каркаса в узлах и в этом смысле соответствует духу и букве п.5.2.4 СП. Согласно принятому образцу, для очередного стержня системы длиной Li в осях методика вычисления μi и li = μiLi состоит в следующем:
1) i-ый стержень выделяют из системы и снабжают по концам упругими закреплениями с неизвестными жесткостными параметрами Кi, качественно имитирующими влияние смежных (отброшенных) элементов (расчетная схема элемента в Табл. О.2);
2) определяют численные значения параметров Кi с помощью ранее полученных зависимостей Кi от параметров тех элементов системы, которые остаются после извлечения i-го стержня (значения К в Табл. О.3) ;
3) значение параметра μi вычисляется с помощью ранее полученной зависимости μ от собственных параметров очередного стержня ( EIi, Li) и параметров Кi (выражения. μ в Табл. О.2).
По существу, содержание исследования сводится к постановке и решению в «пространственном» варианте задач о построении тех зависимостей, которые упомянуты в пп. 2) и 3), как «ранее полученные».
1.3. Основные положения в постановке задач намечены в пп. 2 и 3, исходя из принципа постепенного увеличения строгости и корректности. Каждый из намечаемых промежуточных результатов должен в какой-то мере способствовать уточнению расчетов и давать определенный экономический эффект, но не в ущерб безопасности. По мере получения и анализа этих результатов должна корректироваться стратегия приближения постановки задач к оптимуму.
На данном, исходном этапе исследования рассматриваются только:
- «плоские или пространственные системы, закрепленные от перекоса» (п.5.2.5), т.е, фермы;
-
в пределах упругих деформации по
недеформируемой схеме;
- из элементов сплошного сечения с эллипсом инерции близким к кругу.
Далее, в пп. 4 и 5 рассмотрены вопросы экспериментального подтверждения и практического использования результатов.
2. Определение параметров «К» расчетом.
2.1. Положим:
а) взаимодействие i-го стержня с системой в целом осуществляется через его торцевые плоскости, т.е. плоскости нормальные к его оси и проходящие через центры узлов 1i и 2i системы, соединяемые i-ым стержнем;
б) влияние на работу i-го стержня оказывают только стержни системы, непосредственно сопряженные с его торцами;
в) каждый ij- ый влияющий стержень жестко связан с торцевой плоскостью i-го стержня, а противоположный его конец имеет шарнирное закрепление, которое препятствует поперечным и не препятствует продольным перемещениям относительно оси ij - го стержня;
г)
влияние ij - го стержня
измеряется моментом kij , который
требуется для того, чтобы, преодолевая сопротивление только ij- го
стержня, повернуть соответствующую торцевую плоскость на единичный угол
относительно центральной оси, лежащей в этой плоскости; вдоль этой центральной
оси направлен вектор единичного поворота τ.
2.2. kij зависит от угла φij, между вектором τ и осью ij- го стержня. При вращении вектора τ относительно оси 1i - 2i изменяется φij и, следовательно, kij - функция угла ψ между τ и произвольно установленной (например, вертикальной) координатной плоскостью X - Z, проходящей через ось стержня 1i - 2i так, что ось Z направлена вдоль оси 1i - 2i.
Суммируя влияние стержней, сопряженных с торцом 1i или 2i , можно записать общее выражение для искомых параметров
Кi (1,2) = Σ kij ( Г ; Ф ; Nj ; ψ ) , где
Гj - совокупность геометрических и конструктивных параметров (длина, размеры сечения, характеристики узловых сопряжений и т.п.);
Фj - физические параметры материала ( E, G);
Nj - продольное усилие растяжения или сжатия
суммируются члены
от j =1 до j = n(1, 2) ;
n1, n 2 - количество влияющих стержней, связанных с узлами 1i и 2i .
Известны достаточно
точные выражения зависимости слагаемых kij от факторов Гj, Фj, Nj, но влияние ψ пока недостаточно ясно. Дело в том, что в общем случае направление
реактивного вектора k не совпадает с направлением активного вектора τ и, вообще, k может не лежать в торцевой плоскости.
2.3. Эти затруднения могут быть как-то смягчены, если учесть, что, вообще-то, нет необходимости знать точные значения Кi при всех возможных значениях ψ. Практически, достаточно знать:
-
минимальное значение функции Кi(ψ)
= Кi min,
- приближенное значение ψmin , при котором Кi = Кi min
- характер функции Кi(ψ) в окрестности ψmin .
Именно, в окрестности ψmin векторы К и τ наиболее близки друг другу и совпадают при игнорировании крутильной жесткости, по меньшей мере самого i-го стержня. Нетрудно показать, что доля kij , связанная с крутильной жесткостью влияющих стержней невелика. Поэтому, на данной стадии исследования будем «в запас прочности» полагать, что
все стержни каркаса имеют нулевую крутильную жесткость.
При этом вычисления
kij значительно упрощаются
kij (ψ) = kij0 (sin φij)^2,
где φij = φij(ψ); kij0 – значение kij при φij = π/2.
2.4. Используя эти простые соотношения, можно найти значения Кi min и ψmin с приемлемой точностью при, сравнительно, небольшом количестве итераций.
С помощью тех же соотношений было найдено, что Кi(ψ) имеет вид
Кi = Кi min[cos ( ψ -ψmin)]^2 +Кi max[sin (ψ -ψmin)]^2.
График этой зависимости имеет вид «гантели» и в окрестности ψmin его кривизна отрицательна. В тот же «запас прочности» график здесь может быть приближен прямой, касательной к Кi(ψ) в точке ψmin. Тогда Кi(ψ) в окрестности ψmin имеет вид Ki = Kimin /cos (ψ –ψmin).
3. Определение расчетной длины
стержня.
3.1. Постановка задачи «в общем виде».
Заданы:
а) длина стержня, как расстояние между его торцевыми плоскостями 1 и 2 – L;
б) геометрические параметры сечения:
- площадь сечения – А ;
- минимальный радиус инерции сечения при изгибе – r ;
-
угол между радиусом r и
координатной плоскостью – ψr ;
-
отношение радиусов инерции сечения – nr =
rmax/ r ;
-
крутильный радиус инерции – rкр;
в) характеристики материала:
- значения расчетного сопротивления – Ry, Ru ;
- модули упругости при продольных и крутильных деформациях – E, G;
г) параметры, отражающие конструктивные особенности сопряжения корпуса стержня с торцевой плоскостью, такие, например, как :
- длины участков оси стержня, имеющих бесконечную жесткость – l1, l2 ;
- точечные податливости оси по концам стержня – w1, w2 ;
д) характеристики упругих закреплений по концам стержня (граничные условия):
- минимальные значения функций K(ψ) – K1, K2;
- значения ψ, соответствующие K1 и K2 – ψ1, ψ2;
- вид функций K(ψ) в окрестностях ψ1, ψ2.
Требуется
определить:
l - расчетную длину стержня, равную расстоянию между точками
перегиба (ű = 0) изогнутой оси стержня по первой форме
потери устойчивости.
3.2. Решение задачи предполагается получить из системы уравнений
равновесия вида
EIű + Nu = 0 в интервале z1 ≤ z ≤ z2
с граничными условиями вида EIű + Kú = 0 при z = z1 и z = z2,
которые должны быть заданы с учетом п.3.1.д.
При этом,
очевидно, ú1(ψ) и ú2(ψ) будут достигать максимума в
окрестностях ψ1 и ψ2 . Именно, этим обусловлен пространственный
характер изогнутой оси, так как в общем случае ψ1≠ ψ2.
В достаточно общей постановке 3.1 решение может оказаться чрезмерно трудоемким. Поэтому, следуя принципу «постепенности», наметим ряд допустимых упрощений в постановке задачи, которые позволят получить не стопроцентный, но все же существенный эффект с минимальными затратами.
3.3. В нулевом приближении можно приять все ранее упомянутые упрощения в определении K1 и K2, и при этом игнорировать неравенство ψ1≠ ψ2. По существу, это означает возвращение к плоскостной схеме, откуда следует возможность использовать для определения μ0 формулу О.6 из Табл.О.2 СП.
Возможно, в дальнейшем, когда задача будет решена в какой-то более строгой постановке, удастся найти несложное выражение для поправочного коэффициента f, зависящего от Δψ= ψ1- ψ2 . Тогда для применения в проектной практике может быть предложено уточненное выражение μ = μ0 х f(Δψ).
3.4. В первом приближении из параметров, учитываемых в 3.1, предполагается сохранить следующие :
а) длина стержня – L ;
б) геометрические параметры сечения:
- площадь сечения – А ;
- радиус инерции при изгибе – r (nr = 1, rкр = 0);
в) модуль упругости – E;
г) точечные податливости оси по концам стержня – w1, w2 ;
д) параметры упругих закреплений по концам :
- минимальные значения функций K(ψ) – K1, K2;
- значения ψ, соответствующие K1 и K2 – ψ1, ψ2;
- K(ψ) в окрестностях ψ1, ψ2 в виде K(ψ)1(2) = K/cos (ψ – ψ1(2));
3.5. В последующих приближениях предполагается учесть:
- влияние крутильной жесткости стержней (rкр , G);
- усиление сечений вблизи узлов (l1, l2);
- фактический вид K(ψ) в окрестностях ψ1, ψ2;
- влияние nr ≠1;
- влияние элементов системы, не сопряженных непосредственно с узлами 1и2.
4. Определение
«K»
экспреиментальным путем.
4.1. Из изложенного видно, что характеристики «К» зависят от множества факторов, в том
числе, случайных или недостаточно определенных. Поэтому погрешность определения
l зависит, в основном,
от погрешности вычисления «К».
Разумеется, в сложных ситуациях при проектировании конструкции допустимо идти на определенные упрощения в пользу обеспечения безопасности. Однако, в случае оценки состояния и работоспособности эксплуатируемой конструкции такой поход, зачастую, приводит к экономически неприемлемым решениям. В подобной ситуации желательна экспериментальная проверка результатов расчета.
Разработка методики экспериментального определения «К» полезна и в том отношении, что с ее помощью можно получить надежные свидетельства адекватности предлагаемой методики расчета. Для решения этой, более общей задачи может быть поставлен и специальный лабораторный эксперимент, но в данный момент предпочтительна методика, осуществимая на реальном объекте.
В таких условиях невозможно непосредственно «пощупать» те моменты и углы поворота конкретного узла, которые определяют жесткость защемления в нем прикрепленного к нему стержня. Возможны только косвенные измерения, т.е. измерения параметров, которые связаны с этими жесткостями определенным образом во вполне определенных и легко воспроизводимых обстоятельствах.
4.2. Такими обстоятельствами можно считать, например, приложение по середине стержня сосредоточенной поперечной нагрузки P. Соответствующая форма изогнутой оси стержня имеет две точки перегиба ζ1 и ζ2, положение которых связано с параметрами K1 и K2 вполне однозначно, но при известном значении N. В действительности это возможно только в исключительных случаях и поэтому N должно быть отнесено к неизвестным наравне с K1 и K2.. Тогда к измеряемым параметрам ζ1 и ζ2 должен быть добавлен третий независимый параметр напряженно-деформированного состояния стержня, однозначно связанный с K1, K2. и N. Стремясь к тому, чтобы этот параметр можно было определить теми же средствами измерения, что ζ1 , ζ2, , выберем в этом качестве, например,
űP = űP / P,
где űP - кривизна оси в сечении ζP , где приложена нагрузка P.
4.3. Построение методики экспериментального определение «К» сводится теперь к решению следующих задач:
- построить выражение ű = ű(z) = ű(z) / P ,
где ű(z) – полином или, например, разложение Фурье с коэффициентами, зависящими от K1, K2, N;
- разработать средства и методику приложения к стержню поперечной нагрузки P заданной или контролируемой величины;
- разработать средства и методику измерения кривизны стержня, включая методику определения точек ζ1 и ζ2, , где ű = ű = 0.
При изгибе стержня продольная деформация волокна ε, расположенного на расстоянии h от нейтральной оси пропорциональна кривизне ε = űh, откуда
ű = ε / h.
Таким образом, значение űЭ можно определить, измерив деформацию ε на заданном расстоянии h от нейтральной оси. На эксплуатируемом объекте для этой цели могут быть использованы навесные тензометры (экстензометры).
Отыскание точек ζ1 и ζ2 упрощается тем, что график ű(z) для сжатого стержня с нагрузкой P по середине состоит из двух мало искривленных участков.
В пределах
небольших отрезков оси z, где могут находиться точки ζ1 и ζ2, ű(z) может
быть с достаточной точностью аппроксимирована прямой. При этом
достаточно измерить ε в двух заданных сечениях zа , zб в пределах такого отрезка.
Затем, ζ определяется, как точка оси z, в которой прямая, соединяющая ординаты εЭа и εЭб , пересекает ось z на
графике εЭ(z).
4.4. Процедура определения «К» состоит в последовательном выполнении следующих операций:
1)
приложить к стержню заданную поперечную
нагрузку P в сечении ζP;
2) измерить значения кривизны(деформации) űPЭ(εPЭ), в сечениях ζP и zа1(2) , zб1(2), которые необходимы для определения ζ1 и ζ2;
3) вычислить
значения ζ1, ζ2 и űPЭ= űPЭ /P;
4) подставив в ű(z) последовательно ζ1, ζ2, ζP, составить систему уравнений
ű(ζ1) = 0;
ű(ζ2) = 0;
ű(ζP) =
ű PЭ;
5) решив систему относительно искомых параметров, найти экспериментальные значения : K1Э , K2Э , а также NЭ в качестве «бесплатного приложения».
4.5. Сравнение экспериментально найденных «К» с соответствущими расчетными значениями необходимо выполнять с учетом конечных податливостей, которыми обладают стыки стержней с узловыми коннекторами структуры. Поскольку эти податливости трудно определить с приемлемой точностью расчетом, здесь также необходим эксперимент.
5. Автоматический
подбор сечения сжатого стержня.
Этот раздел, касающийся, в основном, совершенствования программных продуктов, будет окончательно сформирован после консультаций с разработчиками ВК.
.